Есть какая-либо игрушка, которая была изобретена именно в Сергиевом Посаде, которая для него типична, как, скажем, дымковская глиняная игрушка типична для слободы Дымково?

Да, такой местный «эксклюзив» есть, и он родился именно в этом городе, в советское время, когда тот назывался Загорском (1930-1991). Эта та самая «неваляшка», хорошо знакомая с раннего детства многим людям среднего и старшего возраста. Она была создана в 1958 г. в вышеупомянутом Всесоюзном НИИ игрушки (г. Загорск, проспект Красной Армии, д. 136) и изготавливалась на местной Фабрике игрушек № 2.

Неваляшка в виде пупса в чепчике стала развитием старинной русской игрушки, широко известной под названием «ванька-встанька», «кувыркан» или «чебурашка». Новизна же здесь заключается, помимо дизайна, в использовании новой технологии и материалов. Токарная работа и дерево уступили место способу горячего  прессования (сначала из древесно-бумажных масс, потом из целлулоида).

Сейчас под «чебурашкой» подразумевается некий заморский зверек (с легкой руки Эдуарда Успенского), но изначально это слово употреблялось в прямом своем значение – «ванька-встанька, куколка, которая, какъ ни кинь её, сама встаетъ на ноги» («Толковый словарь живого великорусского языка» Владимира Даля).